Η σταθερά τού Αρχιμήδους - Ο άρρητος και υπερβατικός αριθμός π (3,14...)

«Όλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους»
[Ίαν Στιούαρτ, καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο τού Warwick]

Το περίεργο είναι ότι το π είναι ταυτοχρόνως άρρητος και υπερβατικός αριθμός. Άρρητος επειδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δύο ακεραίων αριθμών και υπερβατικός επειδή είναι μεν πραγματικός, αλλά όχι αλγεβρικός. Δεν είναι ρίζα δηλαδή καμίας πολυωνυμικής εξισώσεως με ρητούς συντελεστές. Αποτελεί τη ζωντανή απόδειξη ότι δεν μπορούμε να τετραγωνίσουμε τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνον έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να κατασκευάσει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο.

Με απλά λόγια, τι είναι το π;

Ορισμός: Είναι ο λόγος τής περιφερείας ενός οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του.

Η εύρεση τής ακριβούς τιμής του είναι αδύνατη, διότι τα δεκαδικά ψηφία του συνεχίζονται επ' άπειρον. Ένας υπερυπολογιστής στο Τόκιο υπολόγισε κάποτε περισσότερα από δύο δισεκατομμύρια ψηφία τού π, χωρίς φυσικά να φθάσει στο... τελευταίο. Η επίμονη αναζήτηση ξεκίνησε ίσως με τον Γερμανό μαθηματικό Λούντολφ βαν Τσόιλεν, ο οποίος γύρω στο 1600 υπολόγισε τα πρώτα 35 δεκαδικά ψηφία τού π. Ήταν τόσο υπερήφανος για αυτό το έργο, στο οποίο αφιέρωσε μεγάλο μέρος τής ζωής του, που ζήτησε να γράψουν τα 35 ψηφία στην επιτύμβια στήλη του. Εξίσου επίμονος, ο Γουίλιαμ Σανκς αφιέρωσε από την πλευρά του 20 χρόνια στους υπολογισμούς προχωρώντας το π στα 707 δεκαδικά ψηφία. Δυστυχώς το επίτευγμά του υπέστη τεράστιο πλήγμα όταν οι πρώτοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές ανακάλυψαν ότι είχε κάνει λάθος στο 528ο δεκαδικό ψηφίο, αχρηστεύοντας όλα τα επόμενα.

Μία από τις αρχαιότερες και ακριβέστερες τιμές τού π πάντως, ήταν εκείνη τού Αιγυπτίου γραφέως Αχμές (1650 π.Χ. περίπου). Περιέγραψε τον π ως το αποτέλεσμα τής διαιρέσεως τού 256 δια τού 81, δηλαδή 3,160. Εκείνος όμως ο οποίος θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισμό τού π σε μία πιο θεωρητική βάση ήταν ο Αρχιμήδης. Έτσι, είναι γνωστό και ως η σταθερά τού Αρχιμήδους. Κινέζοι, Ινδοί και Πέρσες σοφοί προσπάθησαν όλοι να υπολογίσουν τη σταθερά αυτή. Ωστόσο, το όνομα με την οποία την γνωρίζουμε σήμερα τής δόθηκε το 1706, όταν ο Ουαλλός μαθηματικός Γουίλιαμ Τζώουνς πρότεινε να ονομαστεί η σταθερά τού Αρχιμήδους με το ελληνικό γράμμα π, από τη λέξη «περιφέρεια». Εκείνος που απέδειξε ότι το π είναι ένας άρρητος αριθμός, εκτός κάθε μαθηματικής λογικής,  ήταν ο Γιόχαν Λάμπερτ το έτος 1761. Η δεύτερη μεγάλη ανακάλυψη σημειώθηκε το έτος 1882, όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι ο π είναι και υπερβατικός αριθμός.

Για τη διευκόλυνση τής απομνημόνευσης μέρους τού αριθμού π θα συναντήσει κανείς σε πολλές γλώσσες στιχάκια στα οποία ο αριθμός γραμμάτων κάθε λέξης συμπίπτει με τα πρώτα δεκαδικά ψηφία τού π, ένα προς ένα. Στα ελληνικά επινοήθηκε τετράστιχο που προσπαθεί να περιγράψει τον π:

Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί
το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον
και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι

3,1415926535897932384626

Ελπίζω να απολαύσατε την ιστορία αυτή. Και κάτι ακόμη: Οι «τρελλάρες» οι Αμερικανοί, έχουν ανακηρύξει την 14η ημέρα τού μηνός Μαρτίου, ως Παγκόσμια Ημέρα τού αριθμού π! Για προφανή λόγο...

Διηνέκης
Πηγή...